Ukuran Pemusatan (Measures of Central Tendency)

Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua populasi atau sampel, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data sampel. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian rupa sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan. Terdapat 3 macam ukuran pemusatan yang sering digunakan yaitu rata-rata (mean), median, dan modus. Masing-masing ukuran pemusatan tersebut memiliki kelebihan maupun kekurangan. Rata-rata adalah ukuran yang paling sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya rata-rata upah karyawan, rata-rata harga beras, dll. Namun, nilai rata-rata ini akan sangat dipengaruhi oleh adanya pencilan (outlier) dan hanya bisa diterapkan untuk data yang diukur dalam skala interval atau rasio. Median merupakan alternatif ukuran pemusatan data yang dapat digunakan bila terdapat outlier pada data karena nilai median tidak terpengaruh oleh adanya outlier. Nilai median tersebut dapat diterapkan untuk data yang diukur dalam skala ordinal, interval, maupun rasio. Namun, nilai median terlalu bervariasi untuk dijadikan parameter populasi. Sedangkan, modus dapat diterapkan untuk semua jenis skala pengukuran data. Kelemahannya, modus akan sulit ditentukan jika variasi data terlalu homogen, terutama bila terdapat beberapa data yang memiliki frekuensi sama. 

A. Rata-Rata (Mean)

Rata-rata adalah nilai yang dianggap mewakili himpunan atau sekelompok data. Niai rata-rata menjadi bagian dari ukuran pemusatan karena umumnya terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Dengan kata lain, rata-rata mempunyai kecenderungan memusat. Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan adalah rata-rata hitung (arithmetic mean), rata-rata ukur (geometric mean), dan rata-rata harmonis (harmonic mean). Setiap jenis rata-rata tersebut memiliki kelebihan maupun kelemahan, dan ketepatan penggunaannya sangat bergantung pada sifat dari data maupun tujuan analisisnya.

Rata-rata Hitung (Arithmetic Mean)

Sifat keberadaan rata-rata hitung adalah tunggal. Artinya, dalam sekelompok data hanya ada satu nilai rata-rata hitung. Rumus untuk menghitung nilai rata-rata hitung adalah sebagai berikut:

  

Beberapa sifat dari rata-rata hitung adalah sebagai berikut:

1. Jumlah dari deviasi data terhadap rata-ratanya sama dengan nol

2. Jumlah dari kuadrat deviasi data terhadap nilai k akan minimum jika k adalah nilai rata-rata

3. Jika setiap nilai data awal dikalikan dengan suatu konstanta k maka nilai rata-rata hitung akan menjadi k kali rata-rata hitung semula

4. Jika setiap nilai data awal ditambah/dikurangi dengan suatu konstanta k maka nilai rata-rata hitung menjadi k lebih besar/lebih kecil dari rata-rata hitung semula

5. Nilai rata-rata hitung keseluruhan merupakan rata-rata tertimbang dari rata-rata hitung sub-kelompok yang ditimbang oleh jumlah data masing-masing sub-kelompok

6. Jika suatu himpunan data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari himpunan data tersebut dengan baik.

Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan data untuk mengetahui rata-rata persentase tingkat perubahan sepanjang waktu (average percentages rates of change over time), misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, dan pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalu. Rumus rata-rata ukur adalah sebagai berikut:

 

Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean)

Rata-rata harmonis dari n observasi X1, X2, ..., Xn merupakan nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut. Rumusnya adalah sebagai berikut:

 

B. Nilai Tengah (Median)

Median merupakan nilai yang terletak di tengah-tengah serangkaian data yang telah diurutkan dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya. Median membagi himpunan data menjadi dua bagian yang sama besar, sehingga 50% data lebih kecil atau sama dengan median dan 50% lainnya lebih besar atau sama dengan median. Kelebihan dari median adalah nilainya tidak dipengaruhi oleh adanya data ekstrim (outlier). Kemudian, median dapat digunakan untuk data dengan skala pengukuran minimal ordinal. 

Median Data Tidak Berkelompok

Untuk n ganjil

Misalnya kita memiliki n data yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil X1 sampai dengan yang terbesar Xn. Kemudian k adalah suatu konstanta bilangan bulat dan n ganjil, sehingga dapat ditulis bahwa:

n = 2k+1

Maka median adalah data yang ke (k+1) atau X(k+1)

Untuk n genap

Jika k adalah suatu konstanta bilangan bulat dan n genap, sehingga dapat ditulis bahwa:

n = 2k

Maka median = 1/2 [Xk+X(k+1)] 

Median Data Berkelompok

Untuk data yang dibuat dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya sebagai berikut:

C. Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi. Sifat keberadaan modus adalah tidak tunggal. Artinya, suatu himpunan data dapat memiliki lebih dari satu nilai modus. Jika himpunan data memiliki satu modus disebut unimodal, dua modus disebut bimodal, dan lebih dari dua modus disebut multimodal. Data dapat juga tidak memiliki modus. Di dalam pemasaran, ukuran modus ini sering digunakan untuk mengetahui barang apa yang paling disenangi oleh konsumen. Kelebihan dari modus adalah dapat digunakan untuk semua jenis skala pengukuran, termasuk skala nominal. Untuk mencari modus data tidak berkelompok adalah dengan mencari observasi yang paling banyak muncul atau yang mempunyai frekuensi terbesar. Sedangkan untuk data berkelompok, modus dapat dicari dengan rumus berikut:

D. Perbandingan Antara Rata-rata, Median, dan Modus

Apabila distribusi frekuensi memiliki kurva yang simetris dengan satu puncak saja, maka letak rata-rata, median, dan modus adalah sama.

Apabila kurva menceng ke kanan, maka nilai rata-rata adalah yang paling besar, diikuti oleh median, kemudian modus.

Apabila kurva menceng ke kiri, maka nilai rata-rata adalah yang paling kecil, diikuti oleh median, kemudian modus.

Apabila distribusinya tidak terlalu menceng, maka terdapat hubungan:

Rata-rata - Modus = 3(Rata-rata - Median) 

Dengan demikian, berdasarkan rumus di atas, apabila dua nilai diketahui maka nilai yang satunya dapat dihitung.

Semoga Bermanfaat